大家好！今天给大家带来的是烟台市高三期末考试。这张卷子计算量整体上讲比较大，但是又给人一种“因为懒得出新题了所以往死里堆模型”的感觉，让人难绷。
After all 我们选择了三道题给大家分享。请看——
Part 1. 复杂的抽象函数！| T8 单选压轴
由条件 ，我们可以推导对称轴。
令 ，则 ，代入得 ，即 。
这意味着函数关于直线 对称。
所以，函数 的图像关于直线 对称。
由条件 ：
结合对称性和单调性可知， 像是一个开口向上的“U”形曲线，对称轴为 。
在这种性质下，函数值的大小取决于自变量与对称轴 的“距离”。距离越远，函数值越大。
即：。
题目要求对任意 ，有 。
利用第一步得出的性质，该不等式等价于自变量与 的距离比较：
化简左边：
由于 ，
且 恒为正数，所以左边的绝对值符号可以直接去掉。
不等式转化为：
令 。因为 ，所以 的取值范围是 。
题目转化为：对于任意 ，不等式 恒成立。
两边平方（因为两边均为非负数）：
移项：
利用平方差公式 ：
我们将 分离出来讨论（注意 ）：
该不等式可以写成：。
当 时：原不等式 即 显然成立，与 无关。
当 时：此时 ，我们可以两边同时除以 ，不等式变为：
我们需要这个不等式对所有 恒成立。
分情况讨论 的符号：
情况一：（即 ）
此时要使乘积大于等于0，必须满足 ，即 。
当 趋近于 （例如 ）时，左边趋近于 ，而 显然是不可能的。
所以这种情况无解。
情况二：（即 ）
代入原式：，即 ，恒成立。
所以 符合题意。
情况三：（即 ）
因为 是负数，除以它需要变号，不等式变为：
即 。
由于 ，则 （也是负数）。
又因为 ，所以 。
一个小于等于 0 的数显然永远小于等于 2。
所以此不等式在 时对任意 恒成立。
所以 符合题意。
综上所述，满足条件的 的取值范围是 A：
Part 2. 再见构造 | T14 填空压轴
根据题目：
且当且仅当 为奇数时取“=”。
我们可以将此条件转化为相邻两项之差的关系。设 。
原不等式可变形为 ，即 。
具体来看：
因为数列各项为正整数，差值 也是整数，所以当 为偶数时，****。
综上，数列 的差分序列 具有如下规律：
且每一对“台阶”至少上升 1。
第一问：求 的最小值
已知 。
首先计算 ：
根据推导出的规律：
现在可以计算 的最小值：
第一空答案：16
第二问：求 的最大值
已知 。我们知道 。
代入 ：
要求 的最大值，意味着数列增长得越慢越好。因此我们要让差值 取最小值。
最小的差值序列为：
即第 组（每组两个）的值为 。
让我们计算前 组（即前 项）的和 ：
括号内是首项为 3，末项为 ，项数为 的等差数列：
我们要让总和接近 2024。估算 ：
试算 ：
此时使用了 84 个差值，总和为 1974，距离 2024 还差 。
此时 ，即 。
接下来看第 85 个差值 。
按照最小增长规律，第 43 组的值应为 。
即 的最小值为 45。
我们需要补足的差值是 50。
因为 ，我们可以令 （这是允许的，只要 即可）。
这样：
所以 是可能的。
再看 是否可能？
要达到 ，我们需要 86 个差值。
考虑增长最慢的情况（差值最小）：
前 84 个差值和为 1974。
第 85、86 个差值最小均为 45（因为 ）。
最小总和 。
这意味着 的最小值是 。
因为 ，数列不可能在 时取到 2026（数列是单调递增的）。
因此， 的最大值为 86。
第二空答案：86
T18 多想少算 | T18 解析几何
依旧是从第二问和第三问来看。 前置计算：
， 。
直线 过 ，方程为 。
直线 过 ，方程为 。
交点 同时满足两直线方程，即：
已知条件：
代入得：
即点 始终在直线 上运动。
(i) 若 为 上的动点，求 的最小值
思路：
问题转化为求椭圆 上的点 到直线 的最小距离。
步骤：
观察直线 ，它在椭圆上方（因为原点到直线的距离 ）。
计算：
所以 的最小值为 ****。
(ii) 斜率之和为 0，求点 的坐标
思路：
利用根与系数的关系计算 和 ，结合总和为 0 解出 的关系。
设 ，。
联立 与 ：
韦达定理：
计算斜率和：
代入韦达定理：
同理，直线 。这里 导致常数项和一次项符号变化，最终推导结果为：
由题意，四斜率之和为 0：
整理得：
所以，有两种情况： 或 。
5. 分类讨论求点 ：
情况一：
代入题目条件 ：
此时直线方程为 。
联立解得交点 ：
此时 点坐标为 。
若 ，则 。
此时直线方程为 。
联立解得交点 ：
此时 点坐标为 。
所以点 的坐标为 或 。
